Budowanie intuicji ułamków równoważnych i przygotowanie do wspólnego mianownika.
W poprzednich lekcjach nauczyliśmy się rozpoznawać różne typy ułamków i zamieniać liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.
Teraz potrzebujemy kolejnej kompetencji: zauważyć, że ten sam ułamek można zapisać na kilka równoważnych sposobów.
To właśnie pozwala później:
Spójrz na zapis:
Jeśli każdą połówkę podzielimy jeszcze raz na dwie równe części, otrzymamy:
Oba zapisy oznaczają dokładnie tę samą część całości.
Tak samo:
To są ułamki równoważne.
Najłatwiej zobaczyć to na tej samej długości paska, tylko podzielonej na inną liczbę równych części.
Rozszerzanie polega na tym, że mnożymy:
przez tę samą liczbę różną od zera.
Przykład:
Jeśli pomnożymy licznik i mianownik przez $2$, dostaniemy:
Jeśli pomnożymy przez $3$, dostaniemy:
Wartość się nie zmienia, bo tak naprawdę mnożymy przez:
A mnożenie przez $1$ nie zmienia liczby.
Skracanie jest działaniem odwrotnym do rozszerzania.
Dzielimy:
przez tę samą liczbę większą od $1$, jeśli oba są przez nią podzielne.
Przykład:
Licznik i mianownik są podzielne przez $2$, więc:
Ale to jeszcze nie jest koniec, bo $6$ i $9$ są nadal podzielne przez $3$:
Zatem:
Ułamek jest zapisany w najprostszej postaci wtedy, gdy licznik i mianownik nie mają już wspólnego dzielnika większego od $1$.
Przykład:
Tego ułamka nie da się już skrócić, bo $2$ i $3$ nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$.
Najczęściej warto najpierw sprawdzić:
Przykład:
Widać od razu, że obie liczby są podzielne przez $5$, więc:
Skracanie i rozszerzanie to nie osobny "trik", tylko narzędzie.
Za chwilę będzie potrzebne do wspólnego mianownika.
Na przykład:
żeby porównać albo dodać, wygodnie jest zapisać:
Właśnie dlatego rozszerzanie jest tak ważne.
Po tej lekcji uczeń powinien umieć: