Lekcja • Matematyka
Lekcja 3. Zamiana liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe i odwrotnie
Kluczowy prerequisite do późniejszych działań na liczbach mieszanych.
Po co jest ta lekcja
W poprzedniej lekcji zobaczyliśmy, że liczba mieszana i ułamek niewłaściwy mogą opisywać tę samą wartość.
Teraz uczymy się przechodzić świadomie z jednego zapisu do drugiego.
To jest bardzo ważne, bo:
- przy mnożeniu i dzieleniu liczb mieszanych zwykle wygodniej pracować na ułamkach niewłaściwych
- po obliczeniach często warto wrócić do liczby mieszanej, żeby wynik był czytelniejszy
Z liczby mieszanej do ułamka niewłaściwego
Spójrz na przykład:
$$2\frac{1}{3}$$
To znaczy:
- $2$ pełne całości
- oraz jeszcze $\frac{1}{3}$
Każda całość to w tym zapisie $\frac{3}{3}$.
Więc dwie całe to:
$$2 = \frac{6}{3}$$
Po dodaniu jeszcze $\frac{1}{3}$ dostajemy:
$$2\frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$
Krótki algorytm
Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:
- pomnóż część całkowitą przez mianownik
- dodaj licznik
- otrzymany wynik wpisz jako nowy licznik
- mianownik zostaje ten sam
Przykład:
$$3\frac{2}{5}$$
Liczymy:
- $3 \cdot 5 = 15$
- $15 + 2 = 17$
Zatem:
$$3\frac{2}{5} = \frac{17}{5}$$
Dlaczego ten algorytm działa
To nie jest sztuczka do zapamiętania bez sensu.
On wynika z rozumienia liczby mieszanej:
$$a\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c}$$
Jeśli część całkowitą $a$ zapiszemy w mianowniku $c$, dostajemy:
$$a = \frac{a \cdot c}{c}$$
więc:
$$a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$$
To właśnie daje regułę:
$$a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$$
Z ułamka niewłaściwego do liczby mieszanej
Teraz w drugą stronę.
Weźmy:
$$\frac{11}{4}$$
Pytamy: ile pełnych całości mieści się w $11$ ćwiartkach?
Ponieważ:
$$11 : 4 = 2 \text{ reszty } 3$$
to:
- część całkowita wynosi $2$
- reszta $3$ staje się licznikiem
- mianownik pozostaje $4$
Zatem:
$$\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$$
Krótki algorytm w drugą stronę
Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną:
- podziel licznik przez mianownik
- iloraz wpisz jako część całkowitą
- resztę wpisz jako licznik
- mianownik zostaje ten sam
Przykład:
$$\frac{14}{3}$$
Liczymy:
więc:
$$\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$$
Kiedy wynik zostaje liczbą całkowitą
Nie każdy ułamek niewłaściwy daje liczbę mieszaną z częścią ułamkową.
Jeśli dzielenie wychodzi bez reszty, otrzymujemy po prostu liczbę całkowitą.
Przykład:
$$\frac{12}{4} = 3$$
Nie zapisujemy wtedy:
$$3\frac{0}{4}$$
bo część ułamkowa nic już nie wnosi.
Typowe błędy
- dodawanie mianownika do licznika zamiast mnożenia części całkowitej przez mianownik
- zmienianie mianownika podczas zamiany liczby mieszanej
- wpisywanie reszty z dzielenia jako nowego mianownika
- zostawianie wyniku w postaci $3\frac{0}{4}$ zamiast $3$
Mini-checkpoint po lekcji
Po tej lekcji uczeń powinien umieć:
- zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy
- zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną
- rozpoznać, kiedy wynik jest po prostu liczbą całkowitą
- wyjaśnić, dlaczego mianownik przy tych zamianach się nie zmienia