Lekcja • Matematyka
Lekcja 7. Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Pełny algorytm z doborem wspólnego mianownika i redukcją wyniku.
Po co jest ta lekcja
W poprzedniej lekcji dodawaliśmy i odejmowaliśmy ułamki, które już miały ten sam mianownik.
Teraz przechodzimy do trudniejszego, ale bardzo ważnego wariantu: mianowniki są różne.
To jest dokładnie ten moment, w którym łączą się dwie wcześniejsze umiejętności:
sprowadzanie do wspólnego mianownika dodawanie i odejmowanie liczników
Dlaczego nie można liczyć od razu
Spójrz na przykład:
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$$
Pierwszy ułamek opisuje połówki, a drugi trzecie części.
To nie są te same kawałki całości, więc nie można od razu dodać liczników.
Najpierw oba ułamki trzeba zapisać w tych samych częściach.
Krok 1. Znajdź wspólny mianownik
Dla mianowników $2$ i $3$ wygodnym wspólnym mianownikiem jest $6$.
Przepisujemy ułamki:
$$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}
\qquad
\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$$
Teraz możemy liczyć:
$$\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$
Pełny schemat dodawania
Gdy mianowniki są różne, działamy tak:
1. znajdujemy wspólny mianownik 2. sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika 3. dodajemy liczniki 4. zostawiamy wspólny mianownik 5. na końcu sprawdzamy, czy wynik można skrócić
Przykład:
$$\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$$
Najmniejszym wspólnym mianownikiem dla $4$ i $6$ jest $12$.
$$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}
\qquad
\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$$
Teraz dodajemy:
$$\frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}$$
Odejmowanie działa prawie tak samo
Spójrz na przykład:
$$\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$$
Najmniejszy wspólny mianownik dla $6$ i $4$ to $12$.
Sprowadzamy:
$$\frac{5}{6} = \frac{10}{12}
\qquad
\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$
Teraz odejmujemy liczniki:
$$\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$
Schemat jest więc bardzo podobny:
1. wspólny mianownik 2. przepisanie ułamków 3. odejmowanie liczników 4. sprawdzenie, czy wynik można skrócić
Gdy jeden mianownik pasuje od razu
Czasem nie trzeba zmieniać obu ułamków.
Przykład:
$$\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$$
Wspólny mianownik to $6$.
Pierwszy ułamek zmieniamy:
$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$
Drugi już ma mianownik $6$, więc zostaje bez zmian:
$$\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$$
I dopiero teraz liczymy:
$$\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$
Gdy wynik trzeba skrócić
Po obliczeniu nie zawsze kończymy od razu.
Przykład:
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$$
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$$
więc:
$$\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
Tu wynik jest już prosty.
Ale w innym przykładzie:
$$\frac{1}{6} + \frac{1}{3}$$
otrzymamy:
$$\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
To pokazuje, że na końcu zawsze warto sprawdzić skracanie.
Najczęstsze błędy
dodawanie liczników bez sprowadzenia do wspólnego mianownika odejmowanie liczników bez sprowadzenia do wspólnego mianownika wybieranie liczby, która nie jest wspólną wielokrotnością obu mianowników zmiana mianownika bez odpowiedniej zmiany licznika brak skrócenia wyniku końcowego Jeśli mianowniki są różne, zatrzymaj się od razu. Najpierw wspólny mianownik, dopiero potem działanie.
Mini-checkpoint po lekcji
Po tej lekcji uczeń powinien umieć:
dodać dwa ułamki o różnych mianownikach odjąć dwa ułamki o różnych mianownikach wybrać sensowny wspólny mianownik rozpoznać, czy trzeba zmienić oba ułamki czy tylko jeden skrócić wynik końcowy, jeśli to możliwe